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基础解系怎么求

云服务器文章 ly464779066 2次浏览

  基础解系不是唯一的,因个人计算时对自由未知量的取法而异,但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。

  基础解系怎么求

  步骤:求出矩阵A的简化阶梯形矩阵;根据简化阶梯型矩阵的首元所在位置,写出自由未知量;根据简化阶梯型矩阵写出与之对应的齐次线性方程组t,该方程组与原方程组解相同;令自由未知量为不同的值,代入上述齐次线性方程组t,即可求得其基础解系。

  极大线性无关组基本性质

  1.只含零向量的向量组没有极大无关组;

  2.一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身;

  3.极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一,但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量;

  4.齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。

  5.任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

  6.一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

  7.若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出,则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

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  1 2 3 4 1 0 -1 -2

  0 1 2 3 第一行2113+(5261-2)倍第二行 0 1 2 3

  0 0 0 0 ______________________-→ 0 0 0 0

  0 0 0 0 0 0 0 0

  则 X1=-X3+(-2)X4

  X2=2X3+3X4

  X3=C1

  X4=C2

  则基础解析为

  X1 -1 -2

  X2===2 C1 + 3 C2

  X3 1 0

  X4 0 1

  基础解系和通解的4102关系

  对于一个方程组,有1653无穷多组的解来说,最基础的,不用乘系数的那组方程的解,如(1,2,3)和(2,4,6)及(3,6,9)以及(4,8,12)……等均符合方程的解,则系数K为1,2,3,4…..等,因此(1,2,3)就为方程组的基础解系。

  A是n阶实对称矩阵,

  假如r(A)=1.则它的特征值为t1=a11+a22+…+ann,t2=t3=…tn=0;对应于t1的特征向量为b1,t2~tn的分别为b2~bn

  此时,Ax=0的解就是k2b2+k3b3+…+knbn;其中ki不全为零。由于:Ax=0Ax=0*B,B为A的特征向量,对应一个特征值的特征向量写成通解的形式是乘上ki并加到一起。这是基础解系和通解的关系。

  基础解系是线性无关的,简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解,是针对有无数多组解的方程而言的。基础解系不是唯一的,因个人计算时对自由未知量的取法而异,但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。

  基础解系是针对有无数多组解的方程而言,若是齐次线性方程组则应是有效方程的个数少于未知数的个数,若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,且都小于未知数的个数。

  参考资料:百度百科 基础解系

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  以下求解过程望你能看2113懂理解5261。

  系数矩阵秩 r(A)=2,对应独立未知量X1和Ⅹ41022,又对1653应二个独立方程。《全0行》表示自由未知量,对应非独立方程,写成 Ⅹ3=Ⅹ3,Ⅹ4=X4 形式,又对应基础解系秩R=2,即解空间基2个,且 r+R=n ( 总未知量4 ),线性代数通常称: 基础解系R= n-r (A)。

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  这是4阶矩阵,秩为2,所以有两个基础解。设x1,x2,x3,x4为(x1,x2,1,0)和(x1,x2,0,1),代入计算得到(1,-2,1,0)和(2,-3,0,1)两个解就ok了。

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  0123

  3210

  0321

  1234

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  1

  2

  3

  4

  1

  0

  -1

  -2

  0

  1

  2

  3

  第一行+(2113-2)倍第二行5261

  0

  1

  2

  3

  0

  0

  0

  0

  ______________________-→

  0

  0

  0

  0

  0

  0

  0

  0

  0

  0

  0

  0

  则4102

  X1=-X3+(-2)X4

  X2=2X3+3X4

  X3=C1

  X4=C2

  则基础解析1653为

  X1

  -1

  -2

  X2===2

  C1

  +

  3

  C2

  X3

  1

  0

  X4

  0

  1

  题目:

  线性代数求基础解系

  已知一个n阶方阵的特征值,怎么求他的基础解系,最好举个例子说明下,求解的过程详细些最好,谢谢了

  解答:

  我不知道,你具体的疑惑在哪里,知道一个n阶A方阵的特征值以后,我们一般是来求解这样一个可逆矩阵P,使得A与由特征值构成的对角阵相似.下面是一道简单例题,你看看,其实,书面上表达很抽象的.

  名师点评:

  ympdefr

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  我认为这是线性代数最基础,也是最重要的一个问题。能够解决这个问题,那么对于剩下来学习线代数就会容易的多。

  简单地说就是先把线性方程组化成阶梯型,然后从最后一行逐行向上的解出基变量(即每一行第一个非零数所对应的变量)等于常数加非基变量乘以常数的形式。然后按顺序补上非基变量恒等式xi=xi,最后将常数对齐非基变量前面的常数对齐,然后写成向量的形式,就是x=(h)+k1(a1)+………+kt(at),其中(h)就是Ax=b的特解,而(a1),………(at)就是Ax=0的基础解系。具体细节见下:

  根据知友idzdd的指正,上面的解中有一个错误:就是第四步前面的”x5=3+0?x2+1?x4″应该改为

  ”x5=3+0?x2+0?x4″。

  相应的基础解系的第二个向量(a2)也要改为(1,0,3,1,0)的转置(也就是把它写成列向量的形式)。

  有人说:请给一个齐次方程的例题。

  回答:这个例题就在本例当中,只要把原来的方程的右边的常数项全换为零,然后把通解中的常向量那一个向量也换成零,就是一个其次方程的标准解法。

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  另一种求解2113方法:

  X1为独立5261未知量4102: 它对应独立方程、对应系数矩1653阵的秩r(A)。【全0行】表示自由未知量: 它对应非独立方程、对应基础解系的秩R。【全0行】写成 Xⅰ=Ⅹⅰ 形式,本题即 X2=X2,X3=X3,它们构成解空间的基 ( 基础解系秩R=2 );且有 r(A)+R=n ( 总未知量 )。

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  下面的基础解2113系是 (9, 1, -1)^T或 (1, 0, 4)^5261T。

  解:方程组4102 同解变形为4×1-x2-x3=0

  即 x3=4×1-x2

  取 x1=0,1653 x2=1, 得基础解系 (9, 1, -1)^T;

  取 x1=1, x2=0, 得基础解系 (1, 0, 4)^T.

  扩展资料:

  线性代数的基础解系求法:

  基础解系针对齐次线性方程组AX=0而言的.

  当r(A)


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