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平面的法向量怎么求

云服务器文章 ly464779066 3次浏览

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  平面法向量的具体步骤:2113(待定系数法)

  1、建立恰当的直5261角坐标系

  2、设平面4102法向量n=(x,y,z)1653

  3、在平面内找出两个不共线的向量,记为a=(a1,a2, a3) b=(b1,b2,b3)

  4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0

  5、解方程组,取其中一组解即可。

  依据:

  ①由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,因此一个平面都存在无数个法向量(包括两个单位法向量)。

  ②如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直。

  扩展资料:

  一、平面的法向量(normal vector of a plane)确定平面位置的重要向量,指与平面垂直的非零向量,一个平面的法向量可有无限多个,但单位法向量有且仅有两个。

  例如在空间直角坐标系中平面Ax+By+Cz+D=0的法向量为n=(A,B,C),而它的单位法向量即法向量除以法向量的长度,正负代表方向。

  二、对于像三角形这样的多边形来说,多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。

  三、用方程ax+by+cz=d表示的平面,向量(a,b,c)就是其法线。

  四、如果曲面在某点没有切平面,那么在该点就没有法线。例如,圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线,但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

  五、待定系数法的一般用法:

  设某一多项式的全部或部分系数为未知数,利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数,从而得到待求的值。例如,将已知多项式分解因式,可以设某些因式的系数为未知数,利用恒等的条件,求出这些未知数。

  参考资料:百度百科-法向量

  百度百科-线面垂直

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  平面法向量的具体步2113骤:(待定系数法)

  1、建立5261恰当的直角坐标系4102

  2、设平面法向量n=(1653x,y,z)

  3、在平面内找出两个不共线的向量,记为a=(a1,a2, a3) b=(b1,b2,b3)

  4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0

  5、解方程组,取其中一组解即可。

  Ax+By+Cz+D=0 ,三元一次方程就是一个平面的一般方程.

  一个平面方程的法向量就是三元一次方程中x,y,z的系数组合向量,即:向量n={A,B,C}就是Ax+By+Cz+D=0的法向量.也可以写成:法向量n=A向量i+B向量j+C向量k,向量i,向量j,向量k分别是x,y,z的单位向量.

  以x+2y+z=4为例,它的法向量是 向量n=(1,2,1)是平面x+2y+z-4=0的法向量.

  一些特例,若A=0,向量n=(0,B.C)垂直于X轴,它所代表的平面By+Cz+D=0则平行于x轴.同理,Ax+Cz+D=0平行于y轴,法向量n=(A,0,C)垂直于y轴;Ax+By+D=0平行于z轴,法向量n=(A,B,0)垂直于z轴.当D=0时,平面过原点.

  2020-09-12 16:46:52文/董月

  建立恰当的直角坐标系;设平面法向量n=(x,y,z);在平面内找出两个不共线的向量,记为a=(a1,a2, a3),b=(b1,b2,b3);根据法向量的定义建立方程组n·a=0与n·b=0;解方程组,取其中一组解即可。

  1、建立恰当的直角坐标系

  2、设平面法向量n=(x,y,z)

  3、在平面内找出两个不共线的向量,记为a=(a1,a2,a3)b=(b1,b2,b3)

  4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0②n·b=0

  5、解方程组,取其中一组解即可。

  2020-01-18 2020-02-03 2020-02-14 2020-02-12 2020-03-30 2020-08-13 2020-08-13 2020-08-13 2020-08-13 2020-08-12
  【写在前面】

  这篇笔记算是一篇积压稿了…大概我是在高一上学期就开始用向量写立体几何,拯救我弱弱的空间想象能力(因为这个我都快放弃有机化竞了==),当时写了这篇笔记,现在发出来和各位同学们交流下~

  本文提到的方法都将以下面这个模型作为例子:(为了说明方法,这个模型是自己编的)

  注:向量用粗体表示。

  例题:求二面角 的余弦值。

  1、内积求法

  由题容易看出,面 是垂直 平面的,法向量比较好写,所以我们先讨论复杂的,即面 。

  设面 ABED的法向量为n,AB =(2,0,-2),AD=(0,3,-1),

  则 →解方程,解得一个n=(x,y,z)(懒得算了)。

  【小结】这种方法容易理解,但是计算量大,有时候数据复杂,赋值困难。

  2、外积求法

  还是写好要求的向量AB =(2,0,-2),AD=(0,3,-1),运用向量的外积,用简单的算法解决计算问题:

  【小结】个人认为,外积计算法向量比内积好用得多。尤其是懂了上述算法原理之后,写好坐标基本可以口算。

  【注】关于外积的拓展,知乎上面有很多文章,感兴趣的同学可以自己去找找看。关于这里法向量的算法,我认为这样做是最简单的。其他各类关于外积计算法向量的方法大多都是用原始定义讲解,高中学生难以理解。

  3、特殊情况:平面截距式方程

  (这名字是我自己起的0.0)

  主要适用于下面这种情况:

  例题:求平面 的法向量。

  即:平面上三个点都在坐标轴上。此时我们类比直线的截距式方程,直接写出平面方程:

  ,从而法向量 ,perfect.

  【小结】这种方法只适用于特殊情境,在选择填空题里面出现的话非常快。

  顺便提一下,计算法向量时如何减少讨论:

  在写法向量的一个坐标时,由于法向量的任意性,我们尽可能让计算出来的法向量满足上图这样一种位置关系。即:把法向量看作一支箭,它从 穿出之后,紧接着转向 的方向穿过它。这样直接用 计算,得出来的结果就是所要求的二面角的余弦。

  优质解答

  已知一个平面的两个法向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2) 其中x1,x2,y1,y2,z1,z2均为已知

  设平面法向量为n=(x,y,z)

  n为平面的法向量则

  n*a=0 x*x1+y*y1+z*z1=0

  n*b=0 x*x2+y*y2+z*z2=0

  两个方程,三个未知数x,y,z

  故设出其中一个,例如设x=1(不能为0),从而求出y,z的值,即可得到平面的一个法向量,因为平面的法向量有无数个,且模可以任意,故可以这样假设

  作业帮用户

  2017-10-09

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  原标题:速求平面的法向量

  经过一个多月的休整,小编又回来了,接着,我仍将带领大家进入神奇的数学世界里!!

  实际上暑假期间,小编也没有好好休息,因为小编所在学校是县级的高中,所以假期还要到学校给孩子们上课,俗称补课,廉价的劳动力啊!!在给孩子们上课的时候,内容是利用空间向量解决立体几何问题,在这块问题中,遇见直线找方向向量,遇见平面选择法向量是最直接的解题思路。直线的方向向量容易解决,只需找直线上两个已知点的坐标相减就可以;而对于平面的法向量,先看题目图形中有没有现成的线面垂直,如果有,那么这条直线的方向向量就是平面的法向量,如果没有,就得求出平面的法向量了,而这种方法是解决这类问题必须学会的方法,不少孩子们会因为算错平面的法向量而导致最后结果错误。今天我来介绍给大家一种快速有效的计算平面法向量的方法,快到你连算错的机会都没有,简直可以称为秒杀!!

  我们先来看一道例题:

  等等,这是什么玩意?怎么来的,我们慢慢来看,来看那个-3、6和-3怎么来的。

  我们先来看一个结论:

  我们再接着看例题:

  当然了,这些过程是拿不出台面的,我们可以通过这个过程得到最后的结果,过程按照一下过程书写:

  我们再来一道,巩固一下:

  对于这个神奇的结论,我们可以用高等数学的二阶行列式和三阶行列式的知识来分析:

  准备知识:

  二阶行列式和三阶行列式的定义分别如下:

  求法向量的算法:

  显然,平面的法向量都是共线的,即相差一个系数,因此,如果求出的法向量的坐标为分数形式或者不是最简形式,可通过乘以或除以一个系数将之化成整数形式。

  怎么样,和你的同桌来比一比,看谁求法向量又快有对,保证可以“亮瞎”他们的“钛合金眼”!返回搜狐,查看更多

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